Punktweise und gleichmäßige konvergenz aufgaben

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Können Sie dies auch formalbeweisen?

Gleichmässige Konvergenz hat für stetige Funktionen gute Eigenschaften. Bitte reduzieren Sie vor dem Versenden nach Möglichkeit den Datenumfang.

  • Die Abgabe einer korrekten Lösung wird als Täuschungsversuch bewertet, wenn sie auf Nachfrage nicht erklärt werden kann.

    • Scheinkriterien

    • Regelmäßige Teilnahme: (ggfls.

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    .

    Dann konvergiert (fn)n  ∈  ℕ gegen die Nullfunktion auf [ 0, 1 ].

    (3)

    Seien fn : [ 0, 1 ]→ℝ definiert durch

    fn(x)  =  xn  für alle x und n.

    Dann konvergiert (fn)n  ∈  ℕ gegen die Funktion f : [ 0, 1 ]→ℝ mit

    f (x) = 0 für x  ∈  [ 0, 1 [ und f (1) = 1.

    (4)

    Seien fn : ℝ→ℝ definiert durch

    fn(x) = 1 für |x| ≤ n, fn(x) = 1/2 für |x| > n.

    Dann konvergiert (fn)n  ∈  ℕ monoton steigend gegen die 1-Funktion auf ℝ.

    (5)

    Für die Funktionen fn : [ 0, 1 ]→ℝ aus Beispiel (3) gilt

    limn limx ↑ 1 fn(x)  =  limn 1  =  1,  aber  limx ↑ 1 limn fn(x)  =  limx ↑ 1 0  =  0.

     Das dritte Beispiel zeigt, dass die Stetigkeit beim Grenzübergang verloren gehen kann.

    Beispiel 7.42 (Punktweise konvergent).

    Sei und. In Prädikatenlogik ist gleichmässige Konvergenz durch

    gegeben. In anderen Worten ist der Konvergenzbegriff gegeben durch die Norm gerade der Begriff der gleichmässigen Konvergenz. Themen:

    • Die reellen Zahlen
    • Der Grenzwertbegriff (Folgen und Reihen)
    • Funktionen (Stetigkeit und Differenzierbarkeit)
    • Minima und Maxima differenzierbarer Funktionen, Extremwertrechnung
    • Das Riemannsche Integral

    Zielgruppe

    Dieser Kurs richtet sich besonders an Studierende der Mathematik (Bachelor sowie Lehramt).

    Voraussetzungen

    Grundzüge der Schulmathematik.

    punktweise und gleichmäßige konvergenz aufgaben

    Vorlesung (2021-02-02)

    • Absolute konvergenz der komplexen Exponentialreihe
    • Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion
    • \(\operatorname{exp}:\mathbb{C} \to \mathbb{C}\) ist stetig
    • Definition: \(\operatorname{cos}(x) = \operatorname{Re} (\operatorname{exp}(ix)) \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) und \(\operatorname{sin}(x) = \operatorname{Im}(\operatorname{exp}(ix)) \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
    • Eigenschaften und Reihendarstellung von \(\operatorname{cos}\) und \(\operatorname{sin}\)
  • 24.

    Vorlesung (2020-11-03)

    • Organisatorisches
    • Mengen, Operationen auf Mengen, kartesiches Produkt
    • Abbildungen und Eigenschaften von Abbildungen
  • 2. Dennoch taucht die gleichmäßige Konvergenz in der Analysis recht häufig auf. Dann konvergierendie stetigen Funktionen punktweise gegen die Funktion gegeben durch

    für ,die nicht mehr stetig ist.

    • Beispiel 7.43 (Punktweise konvergent).

    Sei wiederum und definiere durch

    für und.

    Die Teilnehmenden dieser Lehrveranstaltung (Anmeldung im kommentierten Vorlesungsverzeichnis!) erhalten die Zugangsdaten per E-Mail.

    • 1. Die Funktionen fn nehmen alle den Wert 1/2 an, der von der Grenzfunktion weit entfernt liegt. Wir nehmennun an, dass die Funktionen für jedes beschränkt ist.

      (i)
      Zeigen Sie, dass falls gleichmässig gegen strebt für ,dann ist auch eine beschränkte Funktion.
      (ii)
      Finden Sie ein Beispiel für und beschränkte Funktionen, die punktweise gegen streben für ,so dass nicht beschränkt ist.

    Übung 7.52 (Funktionenkonvergenz und Auswertung entlang einer konvergenten Folge).

    Sei und für eine Funktionenfolgestetiger Funktionen und eine weitere Funktion.

    🪆An und für sich ist dies ein Matrjoschka-Beweis, wenn man sich ein Platz lässt.

    Im Gegensatz zur punktweisen Konvergenz von Funktionenfolgen nimmt man bei der gleichmässigen Konvergenz also an, dass ein existiert, so dass für alle und alle natürlichen  gilt, wobei die Zahl  nicht vom Punkt abhängt. Vorlesung (2021-02-18)

    • Integrierbarkeit monotoner Funktionen
    • Linearität und Monotonie des Integrals
    • Satz: Mit \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) sind auch \(f_+,f_-, |f|\) integrierbar und es gilt \(|\int_a^bf(x)dx|\leq \int_a^b|f(x)|dx\).
    • Mittelwertsatz der Integralrechnung
  • 29.

    Der Allquantor über x steht hinter dem Existenzquantor für n0 (diese Vertauschung kennen wir schon von der gleichmäßigen Stetigkeit aus 5. Das korrigierte Aufgabenblatt ist unten zu finden.

  • Das vierte Übungsblatt ist online.
  • Das dritte Übungsblatt ist online.
  • Das zweite Übungsblatt ist online.
  • Das erste Übungsblatt ist online.
  • Vor dem Hintergrund aktueller Maßnahmen zur Eindämmung der Pandemie finden alle Tutorien bis auf Weiteres ausschließlich online statt.
  • Die Auswirkungen der aktuellen Entwicklung der Pandemie auf die Präsenzlehre finden Sie hier.

    • Allgemeines zur Vorlesung

    Termine

    VorlesungDi 10-12onlineProf.

    Vorlesung (2020-11-17)

    • Multiplikation in \(\mathbb{Z}\)
    • Definition von \(\mathbb{Q}\) als Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen
    • Addition und Multiplikation in \(\mathbb{Q}\), Verträglichkeit mit \(\mathbb{Z}\)
    • \(\mathbb{Q}\) ist total geordneter Körper
    • Definition von Betragsfunktion, Folgen und Konvergenz
  • 6.

    Vorlesung (2021-02-11)

    • Konvergenzkriterium von Weierstraß für Reihen von Funktionen
    • Potenzreihen mit Entwicklungspunkt \(x_0\)
    • Konvergenzradius \(R\) von Potenzreihen
    • Absolute Konvergenz auf \(B_R(x_0)\)
    • Gleichmäßige Konvergenz auf \(\overline{B_r(x_0)}\) für \(r<R\)
    • Beispiel: Potenzreihen für \(\operatorname{exp}, \operatorname{cos}, \operatorname{sin}\)
    • Beziehung von Potenzreihe und Taylor-Reihe
  • 27.

    Die im jeweiligen Tutorium angemeldeten Studierenden erhalten die Zugangsdaten per E-Mail. Fallsgleichmässig gegenkonvergiert, dann istebenso stetig.

    🪆Dies ist ein Matrjoschka-Beweis.